| Sažetak (hrvatski) | Uvod
U moderno vrijeme težnja za pouzdanim, trajnim i učinkovitim konstrukcijskim komponentama
u konstantnom je porastu. S ciljem postizanja što viših stupnjeva učinkovitosti
te što nižih troškova proizvodnje nužno je poznavanje specifičnih fizikalnih svojstava
modernih inženjerskih materijala, kojih je u današnje vrijeme sve više i više. Korištenjem
naprednih tehnologija proizvodnje kao što su 3D printanje i sinteriranje
omogućeno je stvaranje heterogenih struktura odgovarajuće geometrije na nano, tj.
mikrorazini, koje u konačnici mogu dovesti do povoljnih mehaničkih, toplinskih i električnih
svojstava na makrorazini. Mehanička svojstva modernih heterogenih materijala
na makrorazini izravna su posljedica međusobne interakcije materijalnih konstituenata
na nano, tj. mikrorazini. Višerazinska priroda heterogenih materijala od izuzetne je
važnosti i do danas predstavlja veliku prepreku u njihovom numeričkom modeliranju.
Klasična mehanika kontinuuma opisuje uprosječeno ponašanje materijala, odnosno ne
uzima u obzir pojedinačne doprinose svakog pojedinog mikrokonstituenta koji tvori
materijal. Pri pojavi visokolokaliziranih fenomena, kao što su plastičnost i oštećenje,
upotreba klasičnih fenomenoloških relacija ne dovodi do kvalitetnih rezultata. Stoga je
razvoj točnih i učinkovitih numeričkih postupaka za opisivanje ponašanja heterogenih
materijala, koji u obzir uzimaju doprinos od svakog pojedinačnog mikrokonstituenta,
u fokusu brojnih znanstvenih istraživanja i projekata.
Numeričko modeliranje heterogenih materijala
Jedan od brojnih načina numeričkog modeliranja heterogenosti predstavlja upotreba
izravnih, tj. direktnih numeričkih simulacija (eng. direct numerical simulation, DNS)
pri čemu se heterogena mikrostruktura modelira izravno - bez pojednostavljenja. Ovo
predstavlja najprecizniju, ali i ujedno računalno najzahtjevniju metodu modeliranja
heterogenih materijala, budući da ukupan broj stupnjeva slobode vrlo brzo može
dosegnuti iznimne vrijednosti - prevelike za bilo koje moderno računalo.
Poopćena mehanika kontinuuma, poznata i kao teorija gradijenata višeg reda,
predstavlja jedan od prikladnijih načina opisivanja mehaničkog ponašanja heterogenih
materijala. Proširivanjem tenzora malih deformacija ili tenzora gradijenta deformiranja
s gradijentima višeg reda, osigurava se kvalitetno opisivanje nelinearnog
i visokolokaliziranog ponašanja kao što je plastičnost ili oštećenje. Na ovaj način,
informacije s nižih razina su izravno ugrađene u numerički proračun bez potrebe za
analizom same mikrostrukture. U ovom trenutku, dva najveća izazova koja se javljaju
prilikom korištenja poopćene mehanike kontinuuma su visoki računalni troškovi te
pojava velikog broja materijalnih parametara, čije eksperimentalno određivanje u
većini slučajeva nije moguće.
S druge strane, višerazinske (eng. multiscale) metode predstavljaju skup numeričkih
postupaka s mogućnošću analiziranja mehaničkog ponašanja heterogenog
materijala na više razina. Izravna posljedica kod korištenja ovih metoda jest ovisnost
između različitih razina, gdje rješenje s jedne razine izravno utječe na rješenja druge
razine. Iako postoji značajan broj višerazinskih metoda, one se općenito dijele na
konkurentne, sekvencijalne, homogenizacijske, paralelne, hibridne i hijerarhijske.
Konkurentne višerazinske metode predstavljaju najpopularniju i najčešće korištenu
klasu višerazinskih metoda. Ove metode karakterizira izravna veza između
niže razine i odziva materijala na višoj razini, koja se ostvaruje korištenjem procesa
homogenizacije. Niža razina je najčešće vezana za mikrostrukturu materijala, dok
se viša (makro) razina odnosi na konstrukcijsku komponentu koja se proračunava.
Tijekom analize, svojstva materijala kao i njegovo ponašanje u svakoj materijalnoj točki
se dobiva izravno iz svojstava i ponašanja njegove mikrostrukture, koja je određena
preko reprezentativnog volumenskog elementa (eng. representative volume element,
RVE). Nakon rješavanja problema rubnih vrijednosti na mikrorazini, rezultate analize
je potrebno homogenizirati, tj. uprosječiti. Uprosječeni rezultati se nakon toga šalju na
makrorazinu gdje se upotrebljavaju kao ulazni podaci za rješavanje problema rubnih
vrijednosti na makrorazini. Direktna numerička simulacija predstavlja najtočniji i
najfleksibilniji način rješavanja problema rubnih vrijednosti na mikrorazini. Metoda
konačnih elemenata (MKE) i brza Fourierova transformacija (BFT) su jedni od načina
putem kojih je moguće provesti direktnu numeričku simulaciju. Međutim, zbog velikog
broja stupnjeva slobode, provođenje konkurentne višerazinske analize za sobom nosi
potrebu za značajnim računalnim resursima i dugotrajnim vremenom računanja. Razlog
tome jest činjenica da se problem rubnih vrijednosti na mikrorazini mora riješiti
za svaku materijalnu točku na makrorazini i za svaki inkrement cjelokupne analize.
Budući da je glavni (i osnovni) cilj rješavanja problema rubnih vrijednosti na
nižoj razini određivanje prosječnog (homogeniziranog) ponašanja RVEa, dobivanje
“finih” (detaljnih) raspodjela polja deformacije i naprezanja nije nužno. S relativno
malim brojem stupnjeva slobode na nižoj razini nije moguće na ispravan način opisati
raspodjelu polja deformacije i naprezanja, ali je moguće doći do njihovih prosječnih
vrijednosti. Zbog toga se pribjegava upotrebi takozvanih reduciranih metoda (eng.
reduced-order homogenization methods), koje uz odgovarajući gubitak na točnosti
homogeniziranih rezultata osiguravaju značajno smanjenje vremena računanja višerazinskog
konkurentnog postupka. Ubrzanje se postiže prvenstveno zbog smanjenja
složenosti proračuna na mikrorazini, a danas se u tu svrhu sve češće koriste velike baze
podataka.
Višerazinsko modeliranje heterogenih materijala
putem velikih baza podataka
Značajnim rastom računalnih resursa, numeričkom modeliranju mehaničkog ponašanja
heterogenih materijala sve češće se pristupa sa stajališta velikih baza podataka. Analizom
“sirovih podataka” moguće je doći do prethodno nepoznatih materijalnih zakona
i regularnosti, koje se kasnije mogu koristiti za značajno smanjivanje računalne zahtjevnosti
konkurentnog višerazinskog postupka. Proces “učenja” i analiziranja “sirovih
podataka” se odvija u takozvanom “offline koraku", kojeg je potrebno provesti samo
jednom. Do “sirovih podataka” moguće je doći ili eksperimentalnim putem ili upotrebom
numeričkih simulacija, a s gledišta njihove upotrebe razlikuju se dva pristupa:
makroskopski i mikroskopski.
U makroskopskom pristupu, analizom “sirovih podataka” dolazi se do regularnosti
koje služe za izravno predviđanje mehaničkog ponašanja heterogenog materijala
pri odgovarajućem opterećenju. Točnije, uključivanje makroskopskog pristupa u
konkurentnu višerazinsku proceduru znači da se homogenizirana (uprosječena) vrijednost
bilo koje veličine može dobiti izravno iz vrijednosti makroskopske deformacije,
tj. makroskopskog gradijenta deformiranja. Budući da je rješavanje problema rubnih
vrijednosti na mikrorazini u potpunosti isključeno, makroskopski pristup osigurava
najviši stupanj računalne učinkovitosti.
Iako računalno izuzetno učinkovit i prilagodljiv, makroskopski pristup je uvelike
uvjetovan kvalitetom i količinom “sirovih podataka”. Opisivanje i modeliranje
visokolokaliziranih fenomena kao što su plastičnost i oštećenje zahtijeva stvaranje
ogromnih baza podataka, što u nekim slučajevima nije moguće. Također, zbog manjka
informacija s mikrorazine, točnost predviđanja koju makroskopski pristup nudi je često
ograničena. To je pogotovo izraženo u prijelaznim slučajevima, tj. trenutcima gdje
heterogeni materijal značajno mijenja svoju krutost uslijed akumulacije oštećenja ili
prijelaza iz elastičnog u elastoplastično područje.
S druge strane, mikroskopski pristup se služi direktnom numeričkom simulacijom
kako bi u offline koraku prikupio podatke iz svake materijalne točke razmatrane
mikrostrukture (RVEa) koji se zatim koriste za stvaranje velike baze “sirovih
podataka”. Analizom tih podataka dolazi se do odgovarajućih regularnosti koje se
kasnije koriste za smanjenje složenosti i ubrzavanje računanja problema rubnih vrijednosti
na mikrorazini. Budući da rješavanje problema rubnih vrijednosti nije isključeno
(kao u makroskopskom pristupu), mikroskopski pristup se nalazi na nižem stupnju
računalne učinkovitosti, ali s druge strane nudi veću količinu informacija u odnosu
na makroskopski pristup. U neke od najpoznatijih mikroskopskih pristupa spadaju
pravilna ortogonalna dekompozicija (eng. proper orthogonal decomposition), analiza
putem transformacijskih polja (eng. transformation field analysis), analiza putem
neuniformnih transformacijskih polja (eng. nonuniform transformation field analysis)
te metoda homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode temeljena na analizi
klastera (eng. reduced order homogenization: self-consistent clustering analysis).
Metoda homogenizacije s reduciranim brojem
stupnjeva slobode
Metoda homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode predstavlja jednu
od procedura, u području mikroskopskih pristupa, za analizu mehaničkog ponašanja
heterogenih materijala. Temeljena je na dvije inovacije: (1) upotreba algoritma strojnog
učenja za dekompoziciju RVEa u odgovarajući broj potpodručja, tj. klastera i (2)
upotreba Lippmann-Schwingerove jednadžbe za rješavanje problema rubnih vrijednosti
na RVEu koji je diskretiziran odgovarajućim brojem klastera.
Prva inovacija iskorištava svojstvo k-means algoritma, ili bilo kojeg drugog
algoritma za klasteriranje podataka, kako bi se broj stupnjeva slobode (koji su prisutni
na mikrorazini) značajno smanjio. Redukcija se postiže grupiranjem točaka (konačnih
elemenata u slučaju MKEa) u odgovarajuće materijalne klastere. Pojam “materijalni
klaster” označava područje konačnog volumena u kojem je vrijednost bilo koje varijable
konstantna. Točnije, svaka varijabla unutar jednog klastera ima isključivo jednu vrijednost.
Dekompozicijom složene mikrostrukture u materijalne klastere, broj stupnjeva
slobode se može smanjiti i za nekoliko stotina puta. Broj materijalnih klastera kojima
se diskretizira mikrostruktura je proizvoljan, s pravilom da ne može biti manji od
broja mikrokonstituenata koji tvore mikrostrukturu, niti veći od broja točaka (konačnih
elemenata u slučaju MKEa) kojima je inicijalno diskretizirana mikrostruktura.
Proces klasteriranja, tj. grupiranja točaka (konačnih elemenata u slučaju MKEa) u
odgovarajuće materijalne klastere provodi se u offline koraku, i potrebno ga je izvršiti
samo jednom. Dobivena diskretizacija se kasnije može koristiti za bilo koju vrstu
opterećivanja kao i za bilo koji konstitutivni materijalni zakon.
Druga inovacija je nešto složenija i odnosi se na korištenje Lippmann-Schwingerove
jednadžbe s ciljem modeliranja i analize mehaničkog ponašanja svakog pojedinog
klastera kao i cjelokupnog RVEa. Iako je inicijalno izvedena za potrebe opisivanja
sudara čestica u problemima kvantne mehanike, Lippmann-Schwingerova jednadžba
pronašla je svoje mjesto i u području mehanike deformabilnih tijela. Prvi radovi
koji razmatraju modifikaciju i primjenu Lippmann-Schwingerove jednadžbe za rješavanje
problema heterogenih mikrostruktura pojavili su se početkom 70-ih godina
prošlog stoljeća. U njima je jednadžba korištena za dobivanje prosječne (homogene)
vrijednosti modula elastičnosti i modula smičnosti odgovarajućeg heterogenog materijala.
U slučaju metode homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode,
Lippmann-Schwingerova jednadžba se može smatrati jednadžbom ravnoteže klastera.
Usprkos vrlo gruboj diskretizaciji, metoda homogenizacije s reduciranim brojem
stupnjeva slobode osigurava visok stupanj točnosti, tj. malu grešku kada se
usporede vrijednosti dobivene nekom od numeričkih metoda kao što su MKE i BFT.
Osim računalne učinkovitosti, metodu karakterizira i značajna fleksibilnost. Točnije,
Lipmann-Schwingerova jednadžba, koja je diskretizirana po klasterima, valjana je za
bilo koji konstitutivni zakon u određenom materijalnom klasteru, a također osigurava
relativno jednostavan prelazak s malih na velike deformacije. Međutim, visoka
razina točnosti nije uvijek zagarantirana, te je ovisna o vrsti opterećenja, ali i samoj
materijalnoj kao i geometrijskoj konfiguraciji razmatrane mikrostrukture.
Numeričko modeliranje oštećenja i loma
Numeričke metode modeliranja oštećenja i loma najčešće se razvijaju u sklopu metode
konačnih elemenata, a općenito se mogu podijeliti na diskretne (diskontinuumske)
i difuzne (kontinuumske). Ovo je ujedno i osnovna podjela numeričkih metoda za
modeliranje oštećenja i loma koja je ustanovljena s gledišta način prikaza i modeliranja
pukotina unutar materijala.
Diskretne metode pukotinu opisuju kao oštar geometrijski diskontinuitet u
polju pomaka. Danas, dvije najpoznatije teorije koje stoje iza diskretnih metoda su
linearno elastična mehanika loma (eng. linear elastic fracture mechanics LEFM) i
metoda modeliranja kohezivnih zona (eng. cohesive zone modelling CZM). Za razliku
od linearno elastične mehanike loma, čija primjena je moguća samo kada je nelinearna
zona ispred vrška pukotine zanemarivo mala, metoda modeliranja kohezivnih zona je
doživjela značajno veću primjenu. S mogućnošću potpunog isključivanja singularnosti
naprezanja ispred vrška pukotine, metoda modeliranja kohezivnih zona našla je svoju
primjenu u problemima krhkog i duktilnog loma, pri malim i velikim deformacijama.
S gledišta numeričke analize, uvođenje i modeliranje geometrijskih diskontinuiteta
predstavlja značajan izazov, pogotovo u slučaju metoda temeljenih na prostornoj
diskretizaciji (eng. mesh-based methods) kao što je MKE. Budući da pukotina raste
duž rubova elemenata, linearno elastična mehanika loma kao i metoda modeliranja
kohezivnih zona podliježu problemima vezanim uz ovisnost rezultata o veličini mreže
(eng. mesh dependency), ali i problemima vezanim uz ovisnost rasta pukotine o
usmjerenosti konačnih elemenata (eng. bias dependency). S druge strane, odgovarajućim
modifikacijama konačnih elemenata, geometrijski diskontinuitet se može pratiti ne po
rubu elementa već po samom elementu. Takva modifikacija se naziva obogaćivanje (eng.
enrichment), a elementi se samim time nazivaju obogaćeni elementi. Proširena metoda
konačnih elemenata (eng. extended finite element method) predstavlja najpoznatiju i
najpopularniju metodu ove vrste. U njoj, topologija pukotine je opisana implicitno,
pomoću Heavisideovih polinoma i asimptotskih funkcija, što osigurava neovisnost rasta
pukotine o mreži konačnih elemenata i time isključuje potrebu za promrežavanjem.
Međutim, upotreba proširene metode konačnih elemenata za sobom dovodi do potrebe
za visokim računalnim resursima, ali i problema vezanih za numeričku implementaciju.
Povrh toga, gore navedene diskretne metode nisu samodostatne, tj. zahtijevaju dodatne
kriterije za određivanje trenutka i mjesta nastanka kao i samog rasta pukotina.
Za razliku od diskretnih (diskontinuumskih) pristupa, informacije o oštećenju
se u kontinuumskim (difuznim) modelima dobivaju kao dio rješenja matričnog sustava
jednadžbi. Uvođenjem dodatne varijable koja kontrolira stupanj oštećenja, degradacija
naprezanja, koja je povezana s nastankom i rastom pukotine, je izravno uključena u
konstitutivni model. Vrijednost varijable oštećenja se kreće između 0 i 1, pri čemu 0
označava neoštećen materijal, dok 1 predstavlja potpuno degradiran materijal koji ne
posjeduje krutost. S gledišta načina razvoja oštećenja, kontinuumski modeli oštećenja
se mogu podijeliti na izotropne, ortotropne i anizotropne. U izotropnim modelima
varijabla oštećenja je skalar, dok je u ortotropnim, tj. anizotropnim modelima ona
tenzor višeg reda.
Kontinuumski modeli oštećenja, bazirani na lokalnom (standardnom) kontinuumu
predstavljaju skup lokalnih kontinuumskih modela oštećenja. U tim modelima,
ponašanje materijala u svakoj materijalnoj točki je opisano određenim konstitutivnim
zakonom, a varijabla oštećenja ovisi isključivo o deformaciji u promatranoj točki.
Točnije, uzimaju se u obzir samo lokalni efekti. To u konačnici uzrokuje lokalizaciju
oštećenja koja dovodi do lokalnog gubitka eliptičnosti sustava parcijalnih diferencijalnih
jednadžbi, zbog čega numeričko rješenje ne konvergira ka fizikalno smislenoj
vrijednosti. Uz to, lokalni kontinuumski modeli nisu u stanju opisati efekt veličine
uzorka (eng. size effect), koji se javlja u eksperimentalnim analizama.
Navedeni problemi mogu se riješiti uvođenjem nelokalnih kontinuumskih modela
u kojima za razliku od lokalnih kontinuumskih modela, varijabla oštećenja u promatranoj
točki ovisi i o deformaciji u točkama koje ju okružuju - nelokalni efekti se uzimaju
u obzir. Iako postoji pozamašan broj nelokalnih kontinuumksih modela oštećenja,
sve ih karakterizira uvođenje parametra duljine (eng. length parameter). Njime se
omogućava regularizacija problema rubnih vrijednosti čime je osigurana eliptičnost
parcijalnih diferencijalnih jednadžbi i omogućeno dobivanje objektivnih i fizikalnih
rezultata. Također, nelokalni kontinuumski modeli imaju mogućnost opisivanja efekta
veličine uzorka, upravo zbog činjenice da prilikom određivanja vrijednosti oštećenja
uzimaju u obzir i nelokalne efekte.
Jedan od glavnih nedostataka kontinuumskih modela jest nemogućnost opisivanja
stvarnog diskontinuiteta, što pukotina u konačnici i jest. Ova činjenica je dovela
do razvoja takozvanih kontinuumskih-diskontinuumskih modela u kojima je kontinuumski
način opisivanja oštećenja aktivan sve dok se ne pojavi pukotina, koja se kasnije
modelira putem diskretnog principa. Povrh toga, upotreba nelokalnih kontinuumskih
metoda za opisivanje oštećenja može, pri nekim uvjetima opterećivanja, dovesti do
neispravnih rezultata u smislu krive topologije, ali i mjesta nastanka pukotine.
Metoda faznog polja
Metoda faznog polja (eng. phase-field method) predstavlja općeniti pristup modeliranju
fizikalnih sustava s dvije ili više faza koje su razdijeljene nekom vrstom oštrog diskontinuiteta.
Ova se metoda temelji na kontinuiranoj varijabli polja koja stvara razliku
između fizikalnih faza preko “glatke” i kontinuirane tranzicije. U kontekstu mehanike
oštećenja i loma, ova “glatka” tranzicija odnosi se na prijelaz iz neoštećenog u potpuno
oštećeni dio materijala i obrnuto. Na taj način, oštar diskontinuitet, kojeg pukotina
predstavlja, je zamijenjen kontinuiranom varijablom faznog polja (eng. phase-field
variable) koja u suštini tvori difuzni pojas.
Ono što ovu metodu čini izuzetno atraktivnom u području numeričkog modeliranja
oštećenja i loma jest njena mogućnost da na elegantan i učinkovit način modelira
složene procese koji se javljaju pri pojavi i rastu pukotina. Pukotine koje rastu bivaju
automatski praćene preko varijable faznog polja koja se izračunava kao dio ukupnog
rješenja matričnog sustava jednadžbi. Numerička vrijednost te varijable izravno utječe
na razinu oštećenja u difuznom pojasu, čija je širina kontrolirana preko parametra
duljine. Budući da metoda faznog polja spada u grupu nelokalnih kontinuumskih
metoda, ovisnost konačnih rezultata o veličini mreže konačnih elemenata kao i problem
opisivanja efekta veličine uzorka su izbjegnuti. Povrh toga, implementacija metode
faznog polja u metodu konačnih elemenata predstavlja relativno jednostavan zadatak,
bez obzira radi li se o problemu opisanom u dvije ili tri dimenzije.
Formulacija metode faznog polja, koja je prisutna u ovoj disertaciji, potječe od
varijacijskog pristupa krhkom lomu gdje je osnovna Griffithova teorija krhkog loma
pretvorena u problem minimizacije ukupne potencijalne energije. Unutarnji dio potencijalne
energije ukupnog funkcionala se u tom slučaju sastoji od energije unutarnjih
sila i energije oslobođene (disipirane) uslijed nastanka i rasta pukotine. Na taj način,
varijacija ukupne potencijalne energije dobiva se minimiziranjem funkcionala po dvije
varijable - pomaku i samoj pukotini. Varijacijski princip nalaže da se tijelo deformira,
a pukotina raste na onaj način koji osigurava minimum ukupne potencijalne energije.
Naći analitičko rješenje, tj. odrediti vrijednost pomaka i topologiju diskretne pukotine
koji zadovoljavaju princip minimuma ukupne potencijalne energije je moguće samo u
ograničenom broju slučajeva. Stoga je, nedugo nakon uvođenja varijacijskog principa
krhkog loma, napravljena regularizacija izvedenog funkcionala. Pri tome je korištena
eliptična regularizacija problema koji je karakteriziran Mumford-Shah funkcionalom.
Posljedica regularizacije bilo je stvaranje sustava eliptičnih parcijalnih diferencijalnih
jednadžbi koje preko varijable faznog polja u potpunosti opisuju nastanak i rast
pukotine. Sam izvod metode faznog polja spada u još jednu od njenih pozitivnih
karakteristika. Razlog tome jest činjenica da rubni uvjeti i međuovisnost varijabli
slijede “prirodno” iz jednog izvoda - što nije slučaj s ostalim nelokalnim kontinuumskim
metodama.
U zadnjem desetljeću popularnost metode faznog polja je značajno porasla,
što potvrđuju brojni radovi na temu krhkog i duktilnog loma, ali i loma pri malim,
tj. velikim deformacijama. Nadalje, metoda faznog polja uspješno je primijenjena
za opisivanje nastanaka i rasta pukotina uzrokovanim termomehaničkim, elektromehaničkim,
ali i hidrauličkim opterećenjem. Uz to, problemi zamora materijala, dinamičkog
oštećenja kao i višerazinsko modeliranje heterogenih materijala također su
opisani metodom faznog polja.
Iako učinkovita i fleksibilna, metoda faznog polja ima odgovarajuće nedostatke
i probleme koji se javljaju prilikom njene numeričke implementacije. Trenutno, dva
najveća problema su nekonveksnost funkcionala ukupne potencijalne energije te potreba
za gustim mrežama u području nastanka i rasta pukotina.
Prva poteškoća proizlazi iz činjenice da izvedeni funkcional nije strogo konveksan,
već u sebi posjeduje nekoliko ekstrema. Točnije, mala promjena (diferencijal)
ukupne potencijalne energije poprima vrijednost 0 u više različitih točaka, što otežava
jednostavno određivanje globalnog minimuma. Sa stajališta metode konačnih elemenata
to predstavlja veliki nedostatak, budući da nekonveksnost remeti konvergenciju
i stabilnost simulacije, a to je pogotovo izraženo prilikom nastanka i rasta pukotine.
Drugi problem vezan je za visoke računalne resurse koji proizlaze iz potrebe za vrlo
gustim i finim mrežama konačnih elemenata. Veličina konačnog elementa je u izravnoj
vezi s vrijednošću parametra duljine koji kontrolira debljinu difuznog sloja, a u problemima
u kojima je topologija pukotine unaprijed poznata, ovo ne predstavlja značajan
problem. U suprotnom, ovo može uvelike povećati računalne troškove, budući da se
unaprijed progušćena mreža ne može jasno odrediti.
Višerazinsko modeliranje oštećenja i loma
Otpornost materijala na pojavu i razvoj pukotina u velikoj je mjeri uvjetovano njegovom
mikrostrukturom. Male promjene oblika, prostorne raspodjele, volumenskog
udjela ili mehaničkih svojstava svakog individualnog mikrokonstituenta mogu značajno
izmijeniti lomne karakteristike materijala, te ga učiniti više ili manje otpornim na
pojavu oštećenja. Prostorna i materijalna konfiguracija mikrostrukture materijala će
u konačnici dovesti do nejednolične raspodjele polja deformacije i naprezanja što će
u konačnici stvoriti područja pogodna za nastanak i razvoj oštećenja. Višerazinsko
modeliranje materijala ima mogućnost povezivanja ponašanja mikrostrukture i odziva
materijala na makrorazini, stoga predstavlja vrijedan alat za numeričko modeliranje
oštećenja u heterogenim materijalima. Međutim, provođenje konkurentnih višerazinskih
analiza koje u sebi uključuju neki od algoritama za modeliranje oštećenja predstavlja
velik izazov.
Za početak, određivanje prosječne (homogene) vrijednosti parametra oštećenja
unutar RVEa nije moguće klasičnom primjenom računalne homogenizacije prvog reda,
budući da takav način u konačnici rezultira nefizikalnim vrijednostima. Također,
takav pristup ne može odgovoriti na pitanje upitne reprezentativnosti RVEa prilikom
pojave oštećenja i loma kao i utjecaja njegove veličine na konačne rezultate. Druga
prepreka očituje se u samoj zahtjevnosti sa strane računalnih resursa, budući da
konkurentni pristup temeljen na primjeni direktne numeričke simulacije za rješavanje
problema rubnih vrijednosti na mikrorazini, i bez algoritma oštećenja zahtjeva značajne
računalne resurse. Još jedan problem koji zahtjeva pažnju jest neovisnost konačnih
rezultata o veličini i orijentiranosti elemenata na makrorazini - bez obzira da li je u
pitanju diskretni ili difuzni model oštećenja. U slučaju korištenja diskretnog pristupa
modeliranju oštećenja i loma, potrebno je uvesti odgovarajući algoritam promrežavanja
kao i dodatne kriterije za kontrolu razvoja i rasta pukotine. S druge strane, izostanak
nelokalne teorije u slučaju difuznog modela oštećenja na makrorazini, rezultirat će
ovisnošću konačnih rezultata o veličini mreže konačnih elemenata.
Ciljevi i hipoteze istraživanja
Cilj ovog istraživanja je razviti i implementirati novi višerazinski postupak za modeliranje
oštećenja i loma u duktilnim heterogenim materijalima uslijed statičkog
opterećenja. Postupak bi trebao zadovoljiti sljedeće zahtjeve:
• povezati svojstva heterogene mikrostrukture sa svakom materijalnom točkom na
makrorazini,
• osigurati reprezentativnost mikrostrukturnog uzorka, tj. RVEa tijekom pojave i
razvoja oštećenja,
• osigurati neovisnost konačnih rezultata o veličini i usmjerenosti konačnih elemenata,
• postići računalnu učinkovitost,
• omogućiti jednostavno proširenje sa problema krhkog loma pri malim deformacijama,
na probleme duktilnog loma pri velikim deformacijama.
Također, metodologija bi trebala biti općenita i stabilna, tj. u stanju provesti višerazinsku
analizu sa složenim mikrostrukturama na nižoj razini, s proizvoljnim brojem
mikrokonstituenata različitog oblika, volumenskog udjela, prostorne raspodjele i
mehaničkih svojstava. Hipoteza ovog rada je mogućnost razvoja takve metode kombiniranjem
metode faznog polja na makrorazini i metode homogenizacije s reduciranim
brojem stupnjeva slobode na mikrorazini.
Prisutnost nelokalnog kontinuumskog modela oštećenja, kao što je metoda
faznog polja, na makrorazini će osigurati objektivnost i neovisnost konačnih rezultata o
mreži konačnih elemenata. Također, implementacija metode faznog polja u numeričku
metodu kao što je MKE nije složen postupak, što je također dodatna prednost. Uz to,
izostanak algoritma za modeliranje oštećenja na mikrorazini imat će pozitivan učinak
na osiguravanje reprezentativnosti RVEa tijekom pojave i razvoja oštećenja.
S druge strane, funkcija metode homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva
slobode bit će rješavanje problema rubnih vrijednosti na mikrorazini i određivanje
prosječnih (homogeniziranih) materijalnih svojstava mikrostrukture kroz upotrebu
računalne homogenizacije prvog reda. Valjanost i primjenjivost metode homogenizacije
s reduciranim brojem stupnjeva slobode za bilo koji konstitutivni zakon od iznimne je
važnosti jer pridonosi općoj primjenjivosti cjelokupne višerazinske procedure.
U sklopu ovog rada razvijena je višerazinska konkurentna metoda za modeliranje
nastanka i razvoja oštećenja u krhkim i duktilnim materijalima, pri statičkom opterećivanju
za dvodimenzijske i trodimenzijske probleme. Metoda je ugrađena u komercijalni
MKE programski paket Abaqus, primjenom korisničkih rutina UEL i UMAT. Pomoću
više različitih geometrijskih uzoraka te nekoliko različitih mikrostruktura, provedena je
detaljna i temeljita verifikacija razvijene metode. Velika pozornost posvećena je računalnoj
učinkovitosti, stoga je prva faza testiranja orijentirana isključivo na nju. Ostale
faze testiranja usmjerene su na ispitivanje stabilnosti i učinkovitosti novorazvijenog
višerazinskog postupka u određivanju nastanka i razvoja oštećenja u slučaju složenih
mikrostruktura.
Zaključak i doprinos rada
Glavni doprinosi ovog rada i istraživanja odnose se na područje višerazinskog modeliranja
oštećenja u krhkim i duktilnim heterogenim materijalima. Ključni doprinosi
rada su:
1. Implementacija algoritma metode homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva
slobode u komercijalni MKE programski paket Abaqus
• Algoritam homogenizacije s reduciranim brojem stupnjeva slobode je inicijalno
razvijen i testiran u komercijalnom programskom paketu Matlab.
Međutim, s ciljem provođenja konkurentnog višerazinskog postupka, algoritam
je naknadno implementiran u komercijalni MKE programski paket
Abaqus.
• Brojni testovi na različitim 2D i 3D mikrostrukturama pokazali su zamjetan
nivo računalne učinkovitosti i točnosti što je ključno u višerazinskom
postupku. Također je uočeno da pojedine vrste makro-opterećenja, pri
određenim materijalnim konfiguracijama na mikrorazini, treba izbjegavati.
2. Spajanje metode faznog polja i metode homogenizacije s reduciranim brojem
stupnjeva slobode u jedan jedinstveni višerazinski postupak
• Razvijeni konkurentni višerazinski postupak je dokazano ispravan i računalno
učinkovit, što pokazuju testovi provedeni na nekoliko geometrijskih
uzoraka pri čemu je razmatran krhki i duktilni lom.
• Postupak je također stabilan, što je dokazano ponovo na nekoliko geometrijskih
uzoraka pri čemu je na mikrorazini bila prisutna složena mikrostruktura.
• U konačnici, postupak je općenit i fleksibilan. Točnije, proširenje na ostale
tipove materijala, npr. hiperelastični materijal, i druge modele plastičnosti
kao što je Drucker-Prager ili Mohr-Coloumb kriterij tečenja, predstavlja
relativno jednostavan postupak. |
