| Abstract | This dissertation focuses on uncertainty modeling, robust stability, and performance
analysis of coupled multi-input multi-output (MIMO) reduced-order dissipative dynamical
systems. Large-scale structural dynamics systems, micro-electro-mechanical
systems (MEMS), flexible multi-body dynamics systems (FMBDS), and similar systems
are examples of such systems. For modeling and analyzing such systems, spatial
discretization techniques (SDMs) such as the finite element method (FEM) are commonly
used. With the introduction of supercomputers, finite element analysis (FEA)
engineers are now able to conduct analyses with reasonably high fidelity, but at the
expense of lengthy computation times and models of a very high order. In contrast,
the strong need for real-time robust control - with the advent of digital twin models -
necessitates relatively low order models. Herein lies the significance of model order
reduction (MOR) strategies. The accuracy of reduced order models (ROM) determines
the accuracy of the coupled model. The dissipation theory is fundamental to all aspects
of modern robust control, including mathematical (numerical) modeling, analysis, and
synthesis. Complex couplings (interconnections) of a large number of mutually interacting
dissipative dynamical systems can be efficiently analyzed with tools such
as semi-definite programming (SDP), linear matrix inequalities (LMIs), and integral
quadratic constraints (IQCs). With appropriate parametrizations and relaxations, this
boils down to a convex optimization problem (COP). A viable solution to this COP
ensures robust stability and robust performance, which is sometimes referred to as robustness.
The behavioral approach, which incorporates zooming, tearing, and linking,
was recently proposed as a viable method for analyzing (coupled) dynamical systems.
It supports the modeling of coupled dynamical systems in a more natural way,
providing an advantage when dealing with coupled dynamical systems’ complicated
interconnections. While conducting research for this dissertation, the following discoveries
were made: (i) a novel concept of multi-scale structure preservation is introduced
to emphasize the importance of both global structure preservation and local structure
preservation at the subsystem level; (ii) errors introduced into analysis via SDMs and
MOR can be modeled as unstructured linear time-invariant dynamic uncertainties; (iii)
uncertainty conservatism at the subsystem level can be reduced for a special class of
interconnected dissipative dynamical systems; (iv) preserved structure can be used to account for the dissipative dynamics of the surroundings in analysis and (uncertainty)
modeling; and (v) systematic modeling of the uncertainty and model order reduction
(MOR) at the level of a subsystem gives both modeling freedom and the ability for
obtaining less conservative uncertainties on the level of a subsystem. To generate loworder,
robustly stable coupled systems, a new structure-preserving procedure using
subsystem partitioning and subsystem MOR through the balanced truncation method
(BTM) is presented. Resulting systems are well suited for practical decentralized and
distributed robust controller synthesis. The suggested method is also flexible. The
suggested design approach allows users to control conservatism reduction or coupled
model order. Local structure preservation may be exploited to optimize the dynamical
response of large-scale subsystems. Using IQCs and m-analysis, a robustness analysis
was conducted on several numerical experiments to support the findings. Multiple
configurations of spatially discretized vibration dynamical systems composed of a
series of simply supported Euler beams coupled with springs and dampers are investigated.
The results suggest that the dissipative behavior of subsystems may be taken
into consideration effectively when numerically modeling coupled dynamical systems.
The suggested technique is almost certain to produce suboptimal models due to its
heuristic approach, yet it represents an appealing design technique that brings up
several relevant research questions. |
| Abstract (croatian) | Tema ovog istraživanja je razvoj numeričke metode za analizu spregnutih dinamičkih
sustava. Metoda se razvija u okviru teorije automatskog upravljanja i regulacije. Metoda
se implementira numerički korištenjem MATLAB-a i odgovarajućih proširenja
(eng. toolbox). Spregnuti dinamički sustavi su sustavi sačinjeni od više međusobno
povezanih podsustava s višestrukim ulazima i izlazima. Primjeri ovakvih sustava su,
između ostalog, sustavi dobiveni u okviru dinamike sustava više deformabilnih tijela
(eng. flexible multi-body dynamics systems), mikro-elektro-mehaničke sustavi (eng.
micro-electro-mechanical systems), višeagentni robotski sustavi (eng. multi-agent robotic
systems) te raspodjela temperature unutar toplinski vodljivih materijala. Svaki
podsustav je prostorno diskretiziran korištenjem metode konačnih elemenata (MKE)
koji se može zapisati kao linearni dinamički sustav drugog reda. Ubrzanim povećanjem
računalne snage, moguće je vršiti analizu sustava dobivenih pomoću MKE, sa
gotovo proizvoljno visokom točnošću, na uštrp dužih vremena simulacije uz modele s
jako velikim brojem konačnih elemenata.
Za takve sustave, sve je veća potreba za stvaranjem sustava upravljanja i regulacije
koji rade efikasno i robustno u realnom vremenu. Moderan pristup ovom problemu je
stvaranje vjerne digitalne replike stvarnog sustava, tzv. digitalni blizanac (eng. digital
twin) koji zahtjeva da se sustav modelira na fleksibilan način kako bi se dinamika
sustava, po potrebi, mogla relativno jednostavno prilagoditi promjenama na stvarnom
modelu. Za linearne vremenski invarijatne sustave prvog reda razvijeni su mnogi
korisni alati za sintezu sustava upravljanja i regulacije, stoga se takvi modeli najčešće
koriste u okviru modernog upravljanja. Pri pretvorbi prostorno diskretiziranih sustava
u sustave u prostoru stanja, najveći nedostatak je izrazito veliki broj stanja (reda
modela) rezultirajućeg sustava, koji lako naraste do desetaka tisuća ili više. S tako
velikim brojem stanja, nemoguće je ili nepraktično pristupiti modeliranju, analizi i
sintezi u okviru automatskog upravljanja i regulacije. Iz tog razloga, gotovo neizostavno,
koriste se metode redukcije reda modela (RRM). Zbog velike potrebe za RRM,
ovo znanstveno područje gotovo je neiscrpno i popraćeno je stalnim i intenzivnim
razvojem novih metoda RRM.
Ovdje je bitno za naglasiti sljedeće, iako su modeli u prostoru stanja najzastupljeniji
u teoriji upravljanja, također se intenzivno razvijaju i metode upravljanja za sustave
koji nisu zapisani u prostoru stanja. Tu je veliki naglasak stavljen na linearne sustave
drugog reda - jer takvi sustavi se direktno dobivaju rješavanjem mnogih fizikalnih
problema (kao što je i slučaj sa mehaničkim sustavima koji su prostorno diskretizirani).
Ovakva potreba nastala je uz činjenicu da se, između ostalog, nastoje očuvati posebne
značajke i struktura podsustava, koji se obično djelomično ili potpuno gube prilikom
pretvorbe u sustav prvog reda. Očuvanjem strukture podsustava moguće je dobiti
izrazito točne modele niskog reda, pa je ta činjenica popraćena i razvojem RRM za
sustave drugog reda. Iako još ne postoji razvijeno robusno sučelje za analizu i sintezu
linearnih sustava drugog reda, valja uočiti kako je nedugo (u 2021.), u programskom
paketu MATLAB uvedena sveobuhvatna podrška za modeliranje linearnih (mehaničkih)
sustava drugog reda. Za modele drugog reda, da se pokazati da su matrice
potrebne za opis linearne dinamike izrazito rijetke (eng. sparse), pa se dinamički sustavi
vrlo visokog reda u teoriji mogu analizirati efikasno, čak i bez primjene redukcije
reda modela. Sve su ovo pokazatelji koji ukazuju na značaj linearnih modela drugog
reda, ali i očuvanje strukture modela.
Također je interesantno za uočiti da se mijenja trenutna paradigma razmatranja dinami
čkih sustava, a to je modeliranje sustava kao tzv. crne kutije (eng. black-box).
Pri ovakvom pristupu, fizikalni (ali i ostali dinamički) sustavi, modeliraju se kao
procesor informacija (eng. signal processor). Klasična iterpretacija ulaz-izlaz (eng.
input-output) dinamičkih sustava, koja je započela s uvođenjem prijenosnih funkcija
(eng. transfer function), polako se odbacuje za modeliranje fizikalnih sustava. Uz ulazstanje-
izlaz (eng. input-state-output) interpretaciju koja je trenutno najzastupljenija i
koju je uveo R. E. Kálman u šezdesetim godinama prošlog stoleja, u zadnjih tridesetak
godina, razvijaju se i drugi pristupi modeliranju dinamičkih sustava. Izrazito je obe-
ćavajuće razmatranje ponašanja (eng. behavioral approach, u nastavku behavioralni
pristup) dinamičkog sustava, temeljen na približavanju, raščlanjivanju i spajanju (eng.
zooming, tearing and linking) koje je, paralelno sa opisom disipativnih dinamičkih
sustava, uveo J. C. Willems. Ova dva koncepta predstavljaju polaznu točku za razvoj
novih metoda u svim fazama izučavanja dinamičkih sustava - matematičkom (i numeri
čkom) modeliranju, analizi i sintezi. Utjecaj koji je Willems sa svojim istraživanjem
ostavio na cijelu zajednicu "kontrolaša" (eng. control engineers) biti će uskoro prikazan.
Razvojem dvaju spomenutih principa, razvio se i tzv. port-Hamiltonijanski (eng. port-
Hamiltonian) način izučavanja i modeliranja fizikalnih dinamičkih sustava. Kod ovog
pristupa, dinamički sustav razmatra se kao sustav otvorenog tipa u kojem se preko
portova (eng. port) u dinamički sustav uvodi energija koja se jednim dijelom gubi
(disipira) van granica sustava, a preostalim dijelom unutar sustava pretvara u druge
oblike energije. Pri čemu se, slično kao i kod behavioralnog pristupa, ne proučava
izmjena informacija (odnosno signala) među spregnutim sustavima, nego izmjena
energije - što svakako ima jasniju intepretaciju, ali i praktičniju primjenu za fizikalne
sustave. Svi ovi navedeni pristupi omogućavaju bolji uvid u dinamiku fizikalnih sustava
jer se temelje na osnovnim zakonitostima fizike i prvim principima (eng. first
principles). Uz ovo treba spomenuti još i modeliranje dinamičkih sustava korištenjem
računalnog učenja (eng. machine learning) i neuro-neizrazitih-genetskih (eng. neurofuzzy-
genetic) sustava, koji predstavljaju najmoderniji pristup modeliranju, analizi i
sintezi, međutim više su orijentirani ka izrazito nelinearnim dinamičkim problemima.
Za prethodno navede pristupe, koji su argumentativno u mnogim slučajevima bolji za
modeliranje fizikalnih spregnutih dinamičkih sustava od modela opisanim prostorom
stanja, metode upravljanja za takve matematičke modele tek dostižu razinu praktične
primjenjivosti.
Od navedenih metoda i pristupa, fokus ove disertacije zadržan je na behavioralnom
pristupu i teoriji disipativnosti te do neke mjere na korištenju linearnih sustava drugog
reda i popratnim metodama koje se mogu povezati sa trenutno dostupnim metodama
u okviru teorije upravljanja. Behavioralni pristup u samoj svojoj definiciji (kroz korake
raščlanjivanja i povezivanja) sadrži očuvanje strukture sustava. Važnost očuvanja
strukture sustava vidljiv je i kroz značajan interes znanstvenika u posljednih dvadesetak
godina. Treba napomenuti kako se očuvanje strukture kroz literaturu najčešće
odnosi ili na strukturu unutar podsustava (u nastavku lokalno očuvanje strukture) ili
na strukturu unutar spregnutog sustava (globalno očuvanje strukture). Behavioralni
pristup koji je postavio Willems naglašava važnost očuvanja strukture prilikom modeliranja.
Međutim, u okviru teorije upravljanja, zanimljivo je za uočiti kako, uz najbolje
autorovo znanje, nije izučavan sveobuhvatni pristup očuvanja strukture - i lokalne i
globalne strukture istovremeno. Stoga autor ovom prilikom uvodi pojam višeskalnog
očuvanja strukture (eng. multi-scale structure preservation) za spregnute dinamičke
sustave.
O značaju temeljnih principa teorije disipativnosti koje je postavio Willems 1972., prije
točno pedeset godina od danas, govori i činjenica da su upravo u sklopu tog važnog
događaja, izdana dva opsežna broja (2 i 3), u svesku 42, od strane IEEE. Svezak 42 i
brojevi 2 i 3 su dio IEEE Control Systems (Magazine), a nose naziv 50 Years of Dissipativity,
Part I (Part II). Autori koji su sudjelovali u izradi navedenih brojeva, također
su doprinjeli razvoju mnogih grana teorije upravljanja upravo korištenjem spomenute
teorije disipativnosti. Kao istaknute autore, među ostalima, treba navesti C. W. Scherera,
S. Weilenda, M. Arcaka, L. Grünea, B. Brogliatoa, T. H. Hughesa i R. Patesa, na
čijim radovima počiva dobar dio ove disertacije. Osim navedenih znanstvenika, autor
bi još izdvojio i A. Megretskog koji je u devedesetima izdao članak (također usko
vezan za teoriju disipativnosti) vezan za teoriju integralnih kvadratnih ograničenja
(IKO) i time postavio temelje za analitički pristup analizi nesigurnih sustava. IKO
omogućavaju razmatranje nesigurnosti odvojeno od nominalnog sustava. IKO defini rana su nejednakostima koja se koriste za opisivanje (parcijalno) mogućih kombinacija
signala unutar nekog dinamičkog sustava u zatvorenom krugu. Iako IKO predstavljaju
izrazito koristan alat u dokazivanju teorema, glavni značaj imaju pri izvođenju algoritama
temeljenih na konveksnoj optimizaciji koji se koriste za traženje dozvoljenih
rješenja (kandidata) kojima se potvrđuje i dokazuje stabilnost i robusnost nesigurnih
dinamičkih sustava.
Osim ovog recentnog događaja, veliku važnost teorije disipativnosti pokazuje i veliki
projekt Njemačke Znanstvene Institucije (njem. Deutsche Forschungsgemeinschaft,
DFG) pod nazivom Calm, Smooth and Smart - Novel Approaches for Influencing Vibrations
by Means of Deliberately Introduced Dissipation, koji je započeo 2016., a pod okriljem
kojega se odvijaju desetci (uz desetke već završenih) projekata vezanih za dissipativnost
općenitno, ali i mnogi s naglaskom na primjeni u teoriji upravljanja i usmjereni
upravo na mehaničke sustave. Među takvim projektiva valja izdvojiti projekt, koji
je u trenutku pisanja rada još uvijek aktivan, a kojeg vodi P. Benner, pod nazivom
Structure-Preserving Model Reduction for Dissipative Mechanical Systems. U okviro
tog projekta izdan je veliki broj članaka i razvijen veliki broj algoritama vezanih za
redukciju reda modela. Kako je vidljivo i iz samog naziva projekta, fokus je na disipativnim
sustavima. U okviru projekta, također je razvijen i alat za programski
paket MATLAB pod nazivom MORLab koji je izdašno korištem u ovoj disertaciji pri
izvođenu numeričkih eksperimenata.
Kako je vidljivo iz dosadašnjeg pregleda, ova disertacija bavi će se sljedećim podru-
čjima:
– Metodama prostorne diskretizacije (prvenstveno metoda konačnih elemenata) i
teorijom sustava za numeričko modeliranje spregnutih dinamičkih sustava.
– Metodama redukcije reda modela (prvenstveno metode bazirane na redukciji
reda modela u prostoru stanja, s naglaskom na metode očuvanja posebnih svojstava
sustava, kao što su stabilnost, disipativnost i pasivnost, te metode reduckije
očuvanja strukture sustava) u svrhu dobivanja podobnih modela nižeg reda.
– Modeliranjem greške koja nastaje uslijed prostorne diskretiacije i/ili redukcije
reda modela (u okviru teorije robusnog upravljanja uz provođenje analize robustnosti
nesigurnih sustava korištenjem integralnih kvadratnih ograničenja i
strukturirane singularne vrijednosti).
Prostorna diskretizacija parcijalnih diferencijalnih jednadžbi koje opisuju dinamiku
sustava, provoditi će se isključivo metodom konačnih elemenata. Valja napomenuti
da se i druge metode diskretizacije kao što je metoda konačnih volumena (eng. Finite
volume method) i metoda konačnih razlika (eng. finite difference method), također
mogu uklopiti u okviru predloženih metoda.
Hipoteze istraživanja
Hipoteze istraživanja su:
1. Mehanički dinamički sustavi opisani parcijalnim diferencijalnim jednadžbama
mogu se modelirati kao niz međusobno povezanih linearnih vremenskiinvarijantnih
podsustava s nesigurnostima, te je takvim modelom moguće dovoljno
točno opisati dinamičko ponašanje ključno za sintezu učinkovitog sustava
upravljanja.
2. Moguće je iskoristiti činjenicu da su podsustavi spregnuti da bi se dobilo bolji
model nesigurnosti, te time dodatno povećati učinkovitost sustava upravljanja.
Ciljevi istraživanja
Glavni cilj ovog istraživanja je razviti numeričku metodu za ocjenu točnosti i greške
prostorne diskretizacije spregnutih dinamičkih sustava. Uz lokalnu grešku diskretizacije
dodatno se uzima u obzir i točnost spregnutog dinamičkog sustava, te se tako
dobiva poboljšani model nesigurnosti za spregnute dinamičke sustave. Očekivani
cilj, stoga je i unaprijeđenje učinkovitost sustava robustnog upravljanja spregnutih
dinamičkih sustava.
I. Matematički model spregnutog
dinamičkog sustava
Matematičko modeliranje provodi se u okviru teorije sustava i upravljanja. Razmatrani
dinamički sustavi diskretizirani metodom konačnih elemenata, rezultiraju linearnim
sustavima drugog reda. Dobiveni linearni sustavi drugog reda pretvaraju se u linearne
vremenski-invarijantne sustave prvog reda. Za linearne vremenski-invarijatne sustave
prvog reda dostupan je velik broj robusnih alata za modeliranje, analizu i sintezu. U
okviru ovoga doktorata izdašno se koriste metode redukcije reda modela. Metoda
koja predstavlja temelj u razvijenom algoritmu je metoda uravnoteženog skraćivanja
(eng. balanced truncation method), stoga je toj metodi posvećena posebna pažnja.
Diskretizirani i reducirani modeli povezuju se pomoću algebarskih izraza, pri čemu se
zadržava struktura modela. Uz ovako očuvanu strukturu spregnutog sustava, može se
pristupiti modeliranju i mijenjanju svakog od podsustava, koje se nakon modeliranja
ponovno spaja spregnutom sustavu. Ovakav pristup daje dodatnu slobodu kod modeliranja
pri čemu se svaki od podsustava može modelirati na način da zadovoljava
lokalne zahtjeve, ali i globalne.
II. Analiza robusnosti spregnutog
disipativnog dinamičkog sustava
Za opisivanje greške diskretizacije i greške redukcije reda modela korišteni su alati iz
područja robusnog upravljanja. Netočnost u dinamičkom odzivu i trajektoriji reduciranog
sustava u odnosu na nereducirani sustav visokog reda, može se modelirati
kao nestrukturirana nesigurnost. U ovom radu korištene su aditivna i multiplikativna
nesigurnost. Uz očuvanu globalnu strukturu sustava, moguće je korištenjem
linearne frakcijske transformacije (eng. linear fractional transformation) izdvojiti nesigurnosti
svih podsustava i na taj način dobiti jednu, blok dijagonalnu nesigurnu
matricu, koja je u povratnoj vezi povezana sa preostalim nominalnim dijelom nesigurnog
spregnutog sustava. Za takav sustav, moguće je korištenjem integralnih
kvadratnih ograničenja (IKO) i/ili strukturirane singularne vrijednosti (SSV) pristupiti
analizi robustnosti. Osim navedenih nesigurnosti koje nastaju uslijed diskretizacije i
redukcije reda modela, moguće je istovremeno vršiti analizu robustnosti uslijed drugih
tipova nesigurnosti. Za mehaničke sustave to su najčešće parametarske nesigurnosti i
određeni tipovi nelinearnosti.
III. Numerička analiza, numerički
eksperimenti i zaključak
Uz prethodno navedene metode, moguće je iskoristiti strukturu sustava kako bi se,
osim modelirala nesigurnost za svaki podsustav, također i smanjila njena konzervativnost
na nivou podsustava. Konzervativnost nesigurnog modela ima za posljedicu
smanjenje performansi robusnog sustava upravljanja. Smanjenje konzervativnosti provodi
se na način da se u obzir uzimaju okolni sustavi. Pri tome se koriste saznanja iz
teorije disipativnosti kako bi se odbacio dio nesigurnosti koji se zbog same disipativnosti
u spregnutom sustavu prigušuje. Predložena numerička metoda provedena je
na nizu numeričkih primjera. Primjeri su takvi u kojima se disipativnost manifestira
kroz modalno Rayleighevo prigušenje unutar samih diskretiziranih podsustava i kroz
prigušne elemente koji spajaju podsustave odnosno Analiza robustnosti potvrđena
je korištenjem poznate i u literaturi dostupne metode temeljenje na strukturiranim
singularnim vrijednostima (eng. structured singular values), odnosno tzv. m-analize,
ali i modernijom i sofisticiranijom metodom integralnih kvadratnih ograničenja. Integralnim
kvadratnim ograničenjima efikasno se rješavaju i problemi pod utjecajem
više vrsta nesigurnosti (eng. mixed uncertainties). Gotovo svi problemi postavljeni
na temeljima integralnih kvadratnih ograničenja u konačnici se mogu formulirati kao
sustav linearnih matričnih nejednadžbi (eng. linear matrix inequalities), odnosno problem
postaje konveksni optimizacijski problem (eng. convex optimization problem).
Ovo daje veliku prednost integralnim kvadratnim ograničenjima u analizi robusnosti,
jer osim što postoji veliki niz razvijenih i praktičnih alata za rješavanje takve klase problema,
dobivena rješenja garantiraju robusnu stabilnost i željenje robusne perofrmanse
rezultirajućeg nesigurnog modela niskog reda koji je dobiven spajanjem velikog broja
prostorno diskretiziranih podsustava niskog reda.
Ostvareni znanstveni doprinosi
Na osnovu prikazanih numeričkih rezultata, diskusije i zaključaka, potvrđene su i
prethodno postavljene hipoteze istraživanja.
Osim potvrđenih hipoteza, iz ove doktorske disertacije proizašli su i sljedec´i znanstveni
doprinosi:
– Razvijen je originalni koncept modeliranja dinamičkih sustava s očuvanjem strukture
na više razina, koji osigurava očuvanje strukture modela dinamičkog sustava
na globalnoj razini te na razini podsustava.
– Pokazano je kako se greške modeliranja sustava koje su posljedica prostorne
diskretizacije i posljedica redukcije reda modela mogu učinkovito modelirati kao
nestrukturirane linearne vremenski-invarijantne dinamičke nesigurnosti.
– Pokazano je kako se konzervatizam u modeliranju greške na nivou podsustava
može učinkovito smanjiti za posebnu klasu spregnutih disipativnih dinamičkih
sustava.
– Pokazano je kako se očuvanje strukture modela dinamičkog sustava može učinkovito
iskoristiti u analizi i modeliranju (nesigurnog) dinamičkog sustava koji se
nalazi u sprezi s disipativnim sustavom ili sustavima koji predstavljaju njegovu
okolinu.
– Razvijena je metoda sustavnog modeliranja nesigurnosti i redukcije reda modela
na razini podsustava koja omogućava slobodu modeliranja i manju konzervativnost
modela nesigurnosti na nivou podsustava. |
